【導(dǎo)讀】檢測(cè)系統(tǒng)傾斜的一種常用方法是對(duì)陀螺儀輸出進(jìn)行積分。雖然這種方法直截了當(dāng)，但與零點(diǎn)偏置穩(wěn)定性有關(guān)的誤差會(huì)隨著積分周期的增加而快速累積，使設(shè)備發(fā)生明顯旋轉(zhuǎn)——哪怕此時(shí)設(shè)備是靜止的。
在某些應(yīng)用中，若整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)作用于系統(tǒng)的凈加速或力是重力，那么可以使用加速度計(jì)來(lái)測(cè)量?jī)A斜的靜態(tài)角度。這類(lèi)應(yīng)用有：游戲機(jī)、相機(jī)中的水平檢測(cè)，以及在工業(yè)和醫(yī)療應(yīng)用中檢測(cè)設(shè)備的駛向。
對(duì)于采用加速度計(jì)的傾斜檢測(cè)，假設(shè)重力是唯一的加速激勵(lì)因素。在實(shí)際使用中，可在信號(hào)輸出端執(zhí)行信號(hào)處理，移除輸出信號(hào)的高頻成分，因此一定程度的交流加速度是可以接受的。
傾斜檢測(cè)利用重力矢量及其在加速度計(jì)軸上的投影來(lái)確定傾斜角度。由于重力是直流加速度，任何產(chǎn)生額外直流加速度的力均會(huì)破壞輸出信號(hào)，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。直流加速度的來(lái)源包括車(chē)輛在一定時(shí)間內(nèi)以恒定速度加速，以及旋轉(zhuǎn)器件在加速度計(jì)上產(chǎn)生向心加速度。此外，通過(guò)重力旋轉(zhuǎn)加速度計(jì)，隨著目標(biāo)軸上的重力投影變化，會(huì)引起明顯的交流加速度。在計(jì)算傾斜之前，對(duì)加速度信號(hào)進(jìn)行任何形式的濾波都會(huì)影響建立輸出新靜態(tài)值的速度。
本應(yīng)用筆記討論將加速度計(jì)輸出轉(zhuǎn)換為傾斜角度的基本原理。討論內(nèi)容包括如何計(jì)算單軸、雙軸或三軸解決方案的理想傾斜角度。此外還包括一些關(guān)于校準(zhǔn)的基本信息，以減少失調(diào)和靈敏度失配所引起的誤差。
傾斜計(jì)算
單軸傾斜計(jì)算
在只需對(duì)有限的角度范圍內(nèi)進(jìn)行傾斜檢測(cè)的應(yīng)用中(該應(yīng)用的分辨率精度較低)，可使用單軸器件(或多軸器件中的單個(gè)軸)。
例如，在圖1中，單軸(本例中是x軸)通過(guò)重力旋轉(zhuǎn)。由于此方法僅使用單軸，且需要重力矢量，因此只有當(dāng)器件的x軸始終位于重力平面上時(shí)，傾斜計(jì)算角度才是精確的。其他軸上的任何旋轉(zhuǎn)都會(huì)降低加速度在x軸上的幅度，計(jì)算傾斜角度時(shí)便會(huì)產(chǎn)生誤差。
圖1. 用于傾斜檢測(cè)的單軸
根據(jù)基本三角恒等式，x軸上的重力矢量投影會(huì)產(chǎn)生輸出加速度，大小等于加速度計(jì)x軸和水平面之間夾角的正弦值。水平面通常是與重力矢量正交的平面。當(dāng)重力為理想值1 g時(shí)，輸出加速度為：
使用單軸解決方案時(shí)——也就是說(shuō)，輸出的變化引起輸入的某些變化——傾斜計(jì)算隨著水平面與x軸夾角的增加而下降，當(dāng)夾角接近±90°時(shí)，數(shù)值接近0。這點(diǎn)可以從圖2中看出，其中繪出了輸出加速度(以g表示)與傾斜角之間的關(guān)系圖。接近±90°時(shí)，傾斜角出現(xiàn)很大變化時(shí)，輸出加速度只會(huì)產(chǎn)生很小變化。
圖2. 輸出加速度與傾角的關(guān)系(單軸傾斜檢測(cè))
由于以數(shù)字化的方式執(zhí)行傾斜計(jì)算，輸出加速度根據(jù)最低有效位(LSB)或代碼表現(xiàn)為恒定加速度，并由模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)獲取，或者直接從數(shù)字輸出部分獲取。由于輸出分辨率是恒定的加速度，傾斜分辨率(以度為單位)是可變的，其最佳分辨率接近0°，最差分辨率為±90°。
圖3和圖4顯示傾角步進(jìn)為1°和0.25°時(shí)的增量靈敏度。增量靈敏度等于輸出變化，以mg顯示，表示每個(gè)傾角的步進(jìn)，或者：
其中：
N為當(dāng)前角度。
P為步長(zhǎng)。
圖3. 步進(jìn)為1°時(shí)的增量?jī)A斜靈敏度
圖4. 步進(jìn)為0.25°時(shí)的增量?jī)A斜靈敏度
測(cè)量輸出加速度時(shí)，為了滿(mǎn)足應(yīng)用在整個(gè)范圍內(nèi)所需的傾斜分辨率，可利用這些曲線(xiàn)確定需達(dá)到的最小分辨率。例如，設(shè)計(jì)最大步長(zhǎng)為1°，則針對(duì)±63°范圍，分辨率至少需達(dá)到8 mg/LSB。類(lèi)似地，為達(dá)到±63范圍內(nèi)的0.25°最大步長(zhǎng)，則分辨率至少為2 mg/LSB。請(qǐng)注意，如果存在較大的擾動(dòng)，可以使用過(guò)采樣以獲得更佳分辨率。
通過(guò)重力旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于加速度計(jì)輸出符合正弦關(guān)系，使用反正弦函數(shù)可以將加速度轉(zhuǎn)換為角度。
其中，傾斜角θ單位為弧度。
如果需要窄范圍傾斜，可以使用線(xiàn)性近似法取代反正弦函數(shù)。線(xiàn)性近似與小角度正弦近似有關(guān)。
其中，傾斜角θ單位為弧度。
額外的比例系數(shù)k可用于傾角的線(xiàn)性近似計(jì)算中，若容許的誤差有所增加則可擴(kuò)大近似的有效范圍。
其中，傾斜角θ單位為弧度。
將等式5的結(jié)果乘以(180/π)，可轉(zhuǎn)換為度。圖5顯示使用反正弦函數(shù)與使用k = 1時(shí)線(xiàn)性近似的對(duì)比。隨著傾角幅度的增加，線(xiàn)性近似開(kāi)始下降，計(jì)算得到的角度與實(shí)際角度發(fā)生偏差。
圖5. 傾角計(jì)算中反正弦函數(shù)與線(xiàn)性近似的對(duì)比
由于計(jì)算角度根據(jù)實(shí)際傾角繪制，因此線(xiàn)性近似在靠近尾部時(shí)開(kāi)始彎曲。這是因?yàn)榫€(xiàn)性近似僅在對(duì)比輸出加速度時(shí)才表現(xiàn)為線(xiàn)性，如圖2所示。隨著傾角增加，輸出加速度的表現(xiàn)與之相似。然而，反正弦函數(shù)應(yīng)當(dāng)產(chǎn)生與實(shí)際傾角一對(duì)一對(duì)應(yīng)的輸出，從而當(dāng)描繪實(shí)際傾角時(shí)，計(jì)算得到的角度為一條直線(xiàn)。
例如，假設(shè)傾斜檢測(cè)所需的分辨率為1°，則±0.5°的誤差是可以接受的，因?yàn)樗陀谟?jì)算的舍入誤差。若在k = 1的情況下繪制實(shí)際傾角與計(jì)算傾角之間的誤差(如圖6所示)，則線(xiàn)性近似的有效范圍僅為±20°。若比例系數(shù)經(jīng)調(diào)節(jié)后，使得誤差最大但依然保持在計(jì)算得到的舍入限值內(nèi)，則線(xiàn)性近似的有效范圍增加到±30°以外。
圖6. 不同比例系數(shù)下計(jì)算得到的角度誤差
雙軸傾斜計(jì)算
單軸傾斜檢測(cè)的一個(gè)限制，是需要高分辨率ADC或數(shù)字輸出來(lái)實(shí)現(xiàn)大范圍的有效傾角，如圖3和圖4所示；另一個(gè)限制，是單軸測(cè)量無(wú)法提供360°的測(cè)量，因?yàn)樵趦A角N°時(shí)產(chǎn)生的加速度與傾角180° − N°時(shí)產(chǎn)生的加速度相同。在某些應(yīng)用中，這是可以接受的；但對(duì)于需要更高分辨率或要求在完整的360°弧度范圍內(nèi)區(qū)分傾角的應(yīng)用而言，則需要第二條軸(如圖7所示)，或者需要第二個(gè)傳感器。若使用了第二個(gè)傳感器，則其朝向應(yīng)使第二個(gè)傳感器的檢測(cè)軸與第一個(gè)傳感器的檢測(cè)軸相互正交。
圖7. 用于傾斜檢測(cè)的雙軸
增加一個(gè)軸對(duì)確定傾斜角有三大好處。下文說(shuō)明這些好處。
恒定靈敏度
增加一個(gè)軸的第一大好處在于兩個(gè)軸相互垂直。與單軸解決方案相同，x軸檢測(cè)到的加速度與傾斜角的正弦值成比例。由于兩個(gè)軸相互垂直，因此y軸加速度與傾斜角的余弦值成比例(見(jiàn)圖8)。隨著一條軸的增量靈敏度下降(比如該軸的加速度接近+1 g或−1 g)，另一條軸上的增量靈敏度將會(huì)上升。
圖8. 輸出加速度與傾角的關(guān)系(雙軸傾斜檢測(cè))
將測(cè)量的加速度轉(zhuǎn)換為傾角的一種方法，是計(jì)算x軸的反正弦函數(shù)和y軸的反余弦函數(shù)，與單軸解決方案類(lèi)似。但是，更簡(jiǎn)單有效的方法是使用兩個(gè)數(shù)值之比，可得到如下結(jié)果：
其中，傾斜角θ單位為弧度。
與單軸示例不同，使用兩軸之比來(lái)確定傾角會(huì)使得增量靈敏度的確定變得十分困難。相反，假設(shè)所需的傾斜分辨率已知，則確定加速度計(jì)需達(dá)到的最低分辨率用處更大。假定一條軸的增量靈敏度隨著另一條軸的增量靈敏度下降而上升，則凈結(jié)果將是數(shù)值基本恒定的有效增量靈敏度。這表示若針對(duì)某一角度，為達(dá)到所需的傾斜步長(zhǎng)要求而選擇加速度計(jì)，則該加速度計(jì)將具備足夠的分辨率以應(yīng)付所有角度。
為確定所需的最小加速度計(jì)分辨率，可檢查等式6，確定分辨率的極限。由于每條軸的輸出和傾角的正弦或余弦有關(guān)，并且每種函數(shù)的傾角均相同，因此可求解的最小角度與可求解的最小加速度有關(guān)。
如圖3和圖4所示，正弦函數(shù)在0°附近具有最大速率變化，且可以看出，余弦函數(shù)在該點(diǎn)處具有最小速率變化。由于這個(gè)原因，傾斜導(dǎo)致的x軸加速度變化將先于y軸加速度變化而被識(shí)別。因此，系統(tǒng)在0°附近的分辨率主要取決于x軸的分辨率。如需確定P°的傾斜變化，加速度計(jì)必須要能檢測(cè)根據(jù)下式所確定的變化量近似值：
對(duì)于所需的傾斜步長(zhǎng)，圖9可用來(lái)確定所需的最小加速度計(jì)分辨率(或最大加速度計(jì)比例因子)。注意，加速度計(jì)分辨率的提升不僅與加速度計(jì)比例因子的降低有關(guān)，還與檢測(cè)更小的輸出加速度變化的能力有關(guān)。因此，針對(duì)目標(biāo)傾斜步長(zhǎng)選擇具有適當(dāng)分辨率的加速度計(jì)時(shí)，比例因子應(yīng)當(dāng)小于圖9所示的限值。
圖9. 用于目標(biāo)傾角分辨率的最小加速度計(jì)分辨率
降低與重力平面對(duì)齊的依賴(lài)性
使用至少兩個(gè)軸的第二大好處是，與單軸解決方案不同，增加一個(gè)軸后，即使第三個(gè)軸上存在傾斜，也可以測(cè)出精確值。而在單軸解決方案中，只要除x軸以外的任何其它軸上存在傾斜，就會(huì)造成顯著誤差。這是因?yàn)橛行г隽快`敏度與目標(biāo)軸上重力的和方根(RSS)值成比例。
若重力完全包含在xy平面中，那么在理想情況下，那些軸上檢測(cè)到的加速度RSS值等于1 g。若在xz或yz平面上存在傾斜，則重力導(dǎo)致的總加速度將下降，從而降低有效增量靈敏度。這樣會(huì)增加給定加速度計(jì)分辨率的傾斜步長(zhǎng)，但依然可以提供精確的測(cè)量結(jié)果。傾角計(jì)算結(jié)果與xy平面上的旋轉(zhuǎn)有關(guān)。
若系統(tǒng)足夠傾斜，以至于xy平面上只有極少量由于重力而造成的加速度，那么傾角步長(zhǎng)將會(huì)分辨率過(guò)低而不可用；因此，建議限制xz或yz平面的傾斜程度。
完整360°傾斜檢測(cè)
增加一個(gè)軸的第三大好處是，能夠區(qū)分各個(gè)象限并在整個(gè)360°弧度范圍內(nèi)測(cè)量角度。如圖10所示，每個(gè)象限都具有與x和y軸加速度關(guān)聯(lián)的不同符號(hào)組合。
圖10. 象限檢測(cè)的傾角和加速度符號(hào)
如果操作數(shù)AX,OUT/AY,OUT為正值，反正切函數(shù)會(huì)返回第一象限中的值；如果操作數(shù)為負(fù)值，則反正切函數(shù)會(huì)返回第四象限中的值。第二象限內(nèi)的操作數(shù)為負(fù)值，因此在計(jì)算該象限內(nèi)的角度時(shí)應(yīng)將結(jié)果加上180°。第三象限內(nèi)的操作數(shù)為正值，因此在計(jì)算該象限內(nèi)的角度時(shí)應(yīng)從結(jié)果中減去180°。而該角度所處的確切象限則可以通過(guò)各軸上測(cè)得的加速度符號(hào)來(lái)確定。
三軸傾斜計(jì)算
引入第三條軸后，便可在全部范圍內(nèi)確定傳感器。經(jīng)典的矩形(x, y, z)到球形(ρ, θ, φ)轉(zhuǎn)換方法可將xy平面的傾角θ以及重力因素產(chǎn)生的傾角φ與每條軸上的測(cè)量加速度相關(guān)聯(lián)，如下所示：
假設(shè)重力是唯一測(cè)得的加速度原因，則等式10分母上的操作數(shù)可以常數(shù)代替(最好是1)，因?yàn)榇藭r(shí)所有軸上的RSS值為常數(shù)。角度如圖11所示；圖11c顯示θ只在xy平面上存在，而圖11d顯示φ為z軸與重力矢量之間的夾角。
圖11. 球形坐標(biāo)系統(tǒng)的角度
由于三軸法與單軸/雙軸法具有相似的等式，因此三軸解決方案的分析與單軸和雙軸法結(jié)合使用時(shí)相同。兩條正交軸之比有助于θ的測(cè)量，并且要達(dá)到要求的傾斜分辨率需要具備一個(gè)最小加速度計(jì)分辨率，如等式8所示。
φ的測(cè)量不僅與單軸解決方案的傾角測(cè)量有關(guān)，還與目標(biāo)范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)特定傾角分辨率所需的最小加速度計(jì)分辨率的確定有關(guān)。區(qū)別在于，使用反余弦函數(shù)確定φ會(huì)使φ在90°時(shí)具有最大的增量靈敏度，而在0°和180°時(shí)具有最小的增量靈敏度。
以余弦代替等式2中的正弦，即可產(chǎn)生類(lèi)似圖3和圖4的曲線(xiàn)。重要的是需注意，雖然θ的范圍為−180°至+180°，但φ的范圍僅為0°至180°。若φ的角度為負(fù)數(shù)，則θ的角度也會(huì)變?yōu)樨?fù)數(shù)。
三軸傾斜檢測(cè)的一種替代方法是單獨(dú)確定加速度計(jì)每條軸與參考位置之間的夾角。參考位置通常選擇器件的x軸和y軸位于水平面的方向上(0 g場(chǎng))，并且z軸與水平面垂直(1 g場(chǎng))。圖12顯示該方法，其中，θ表示水平面與加速度計(jì)x軸之間的夾角，ψ表示水平面與加速度計(jì)y軸之間的夾角，φ表示重力矢量與z軸之間的夾角。當(dāng)位于x和y軸的0 g以及z軸的1 g初始位置時(shí)，所有計(jì)算的角度均為0°。
圖12. 獨(dú)立傾斜檢測(cè)的角度
可利用基本三角恒等式計(jì)算傾角，如等式11、12和13所示。
等式13中操作數(shù)出現(xiàn)明顯反轉(zhuǎn)，這是因?yàn)槌跏嘉恢脼? g場(chǎng)。若需使用水平面作為z軸的參照，則可將操作數(shù)反轉(zhuǎn)。角度為正表示對(duì)應(yīng)的加速度計(jì)正軸指向水平面上方，而角度為負(fù)表示軸指向水平面下方。
由于采用反正切函數(shù)和加速度之比，因此具有雙軸示例中提及的優(yōu)勢(shì)，也就是說(shuō)有效增量靈敏度是恒定的，并且單位范圍內(nèi)的角度可在所有點(diǎn)上精確測(cè)得。
校準(zhǔn)失調(diào)和靈敏度失配誤差
本應(yīng)用筆記中的分析假設(shè)采用理想加速度計(jì)。該假設(shè)等同于使用無(wú)0 g失調(diào)且具有完美靈敏度的器件——靈敏度以mV/g(模擬傳感器)或LSB/g(數(shù)字傳感器)表示。雖然傳感器經(jīng)過(guò)調(diào)節(jié)，但器件本質(zhì)上是機(jī)械的，這便意味著系統(tǒng)完成裝配后，器件上的任何靜態(tài)應(yīng)力都有可能影響失調(diào)和靈敏度。再加上工廠(chǎng)校準(zhǔn)的限制，便有可能使誤差超出應(yīng)用允許的限值以外。
失調(diào)誤差的影響
為了表明誤差到底有多大，可以設(shè)想一下，某個(gè)雙軸解決方案具有完美的靈敏度，但x軸上存在50 mg失調(diào)。0°時(shí)，x軸讀數(shù)為50 mg，y軸讀數(shù)則為1 g。由此計(jì)算得出的角度就是2.9°，因而會(huì)造成2.9°的誤差。±180°時(shí)，x軸的讀數(shù)為50 mg，y軸的讀數(shù)則為−1 g。由此計(jì)算得出的角度會(huì)存在−2.9°的誤差。圖13所示為本例中算出的角度和實(shí)際角度之間的誤差情況。失調(diào)引起的誤差可能不僅大于系統(tǒng)所需的精度，而且還會(huì)發(fā)生變化，使簡(jiǎn)單地通過(guò)校準(zhǔn)消除誤差角變得困難。當(dāng)多個(gè)軸上都存在失調(diào)時(shí)，這將會(huì)變得更為復(fù)雜。
圖13. 加速度計(jì)失調(diào)引起的角度計(jì)算誤差
靈敏度失配誤差的影響
在雙軸傾斜檢測(cè)應(yīng)用中，由加速度計(jì)靈敏度導(dǎo)致的主要誤差成分是目標(biāo)軸之間的靈敏度差異(在單軸解決方案中，如果實(shí)際靈敏度和預(yù)期靈敏度之間存在任何偏差，則會(huì)導(dǎo)致出現(xiàn)誤差)。由于使用的是x和y軸的比值，因此如果兩者靈敏度相同，則可以消除大多數(shù)誤差。
下面舉例說(shuō)明加速度計(jì)靈敏度失配的影響。假設(shè)某個(gè)雙軸解決方案具有完美的失調(diào)調(diào)整功能，且y軸具有完美的靈敏度，但x軸的靈敏度為+5%。這表示在1 g場(chǎng)中，y軸讀數(shù)為1 g，x軸讀數(shù)則為1.05 g。圖14所示為因?yàn)檫@種靈敏度失配而造成角度計(jì)算出現(xiàn)的誤差情況。與失調(diào)誤差類(lèi)似，加速度計(jì)靈敏度失配引起的誤差會(huì)在整個(gè)旋轉(zhuǎn)范圍內(nèi)不斷變化，使在計(jì)算出傾斜角后進(jìn)行誤差補(bǔ)償變得困難。改變y軸的靈敏度會(huì)進(jìn)一步增加失配，從而使誤差更大。
圖14. 加速度計(jì)靈敏度失配引起的角度計(jì)算誤差
基本校準(zhǔn)技術(shù)
當(dāng)失調(diào)引起的誤差和靈敏度失配引起的誤差兩者相疊加時(shí)，誤差可能會(huì)變得相當(dāng)大，完全超出傾斜檢測(cè)應(yīng)用所能接受的范圍。要減少這類(lèi)誤差，就應(yīng)當(dāng)對(duì)失調(diào)和靈敏度進(jìn)行校準(zhǔn)，并使用校準(zhǔn)后的輸出加速度來(lái)計(jì)算傾斜角。包括失調(diào)和靈敏度的影響后，加速度計(jì)輸出變化如下：
其中：
AOFF表示失調(diào)誤差，單位為g。
Gain表示加速度計(jì)的增益，理想值為1。
AACTUAL表示加速度計(jì)的真實(shí)加速度和目標(biāo)值，單位為g。
一種簡(jiǎn)單的校準(zhǔn)方法是假設(shè)增益為1并測(cè)量失調(diào)。經(jīng)過(guò)此校準(zhǔn)之后，系統(tǒng)的精度即會(huì)限制為未校準(zhǔn)的靈敏度誤差。這種簡(jiǎn)單的校準(zhǔn)方法可通過(guò)將目標(biāo)軸置于0 g場(chǎng)中并測(cè)量輸出(大小等于失調(diào))來(lái)完成。然后，應(yīng)在處理信號(hào)之前從加速度計(jì)的輸出中減去該值。這種方法通常稱(chēng)為無(wú)調(diào)頭或單點(diǎn)校準(zhǔn)，因?yàn)槠骷牡湫腿∠驎?huì)將x和y軸置于0 g場(chǎng)中。如果使用的是三軸器件，則應(yīng)針對(duì)z軸包含至少一個(gè)調(diào)頭或第二個(gè)點(diǎn)。
一種更加精確的校準(zhǔn)方法是每個(gè)目標(biāo)軸上取用兩個(gè)點(diǎn)(三軸設(shè)計(jì)最多可取用六個(gè)點(diǎn))。當(dāng)某個(gè)軸處于+1 g和−1 g場(chǎng)中時(shí)，測(cè)得的輸出如下：
其中，失調(diào)AOFF的單位為g。
利用這兩個(gè)點(diǎn)確定的失調(diào)和增益如下：
其中，+1 g和−1 g測(cè)量結(jié)果A+1g和A−1g均以g表示。
由于測(cè)量目標(biāo)軸時(shí)，正交軸都處于0 g場(chǎng)，因此這種校準(zhǔn)方法還有助于將跨軸靈敏度影響降至最低。利用這些值，首先可以從加速度計(jì)測(cè)量結(jié)果中減去失調(diào)，然后將所得結(jié)果除以增益。
其中，AOUT和AOFF的單位為g。
等式15至等式19中，計(jì)算AOFF和增益時(shí)，假設(shè)加速度值A(chǔ)+1g和A−1g均以g表示。如果加速度單位采用mg，則等式17中AOFF的計(jì)算結(jié)果會(huì)保持不變，但等式18中增益的計(jì)算結(jié)果需要除以1000，以處理單位上的變化。
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