【導(dǎo)讀】在使用濾波器的應(yīng)用中，通常人們對(duì)幅值響應(yīng)的興趣要比對(duì)相位響應(yīng)的興趣更濃厚。但是，在某些應(yīng)用中，濾波器的相位響應(yīng)也很重要。一個(gè)實(shí)例是 濾波器用于過(guò)程控制環(huán)路中的情形。這里，人們關(guān)心的是總的相移量，因?yàn)樗绊懙江h(huán)路的穩(wěn)定性。用來(lái)搭建濾波器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是否會(huì)造成在某些頻率點(diǎn)處符號(hào)出現(xiàn) 相反，是非常重要的。
將有源濾波器視為兩個(gè)級(jí)聯(lián)的濾波器是一個(gè)有用的方法。如圖1所示，其中一個(gè)濾波器是理想的濾波器，用于體現(xiàn)傳遞函 數(shù);另一個(gè)是構(gòu)成濾波器的放大器。在閉環(huán)的負(fù)反饋環(huán)路中所采用的放大器可以被視為一個(gè)具有一階響應(yīng)的、簡(jiǎn)單的低通濾波器。當(dāng)頻率超過(guò)某一點(diǎn)后，增益將隨著 頻率的增長(zhǎng)而出現(xiàn)滾降現(xiàn)象。此外，如果放大器使用反相放大結(jié)構(gòu)的話，則所有頻率點(diǎn)上還將出現(xiàn)附加的180°相移。
圖1. 以兩個(gè)級(jí)聯(lián)的傳遞函數(shù)的形式表示的濾波器
濾 波器設(shè)計(jì)過(guò)程可分為兩步。首先選定濾波器的響應(yīng)特性，接下來(lái)選出適當(dāng)?shù)碾娐方Y(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)它。濾波器的響應(yīng)是指衰減曲線的形狀，這常?？梢詺w為經(jīng)典的響應(yīng)特性 中的一種，如Butterworth、Bessel或者某種Chebyshev型。雖然這些響應(yīng)特性的選擇往往會(huì)影響幅值響應(yīng)特性，但它們也會(huì)影響相位響 應(yīng)特性的形狀。在本文中，為了進(jìn)行比較，忽略幅值響應(yīng)，認(rèn)為其幾乎不變。
濾波器的復(fù)雜性往往通過(guò)濾波器的“階數(shù)”來(lái)定義，該參數(shù)與儲(chǔ)能元 件(電感和電容)的數(shù)量有關(guān)。濾波器傳遞函數(shù)分母的階數(shù)定義了隨著頻率的上升而呈現(xiàn)的衰減速率。漸近線型的濾波器滾降速率為-6ndB/倍頻程，或者 -20ndB/十倍頻程，其中n是極點(diǎn)的數(shù)量。倍頻程是指頻率的二倍或者一半，十倍頻程是頻率的十倍增長(zhǎng)或者縮減。因此，一個(gè)一階(或者單極點(diǎn))濾波器的 滾降速率為-6dB/倍頻程或者-20dB/十倍頻程。類似的，一個(gè)二階(或者2極點(diǎn))濾波器的滾降速率為-12dB/倍頻程或者-40dB/十倍頻程。 更高階次的濾波器往往是由級(jí)聯(lián)的一階和二階基本單元所構(gòu)成的。自然，我們可以利用單個(gè)有源放大電路級(jí)來(lái)構(gòu)建三階、甚至四階濾波器，但是對(duì)于元件值的敏感， 以及元件之間的相互作用對(duì)頻率響應(yīng)所造成影響的大幅度上升，會(huì)使這些選擇不那么具有吸引力。
傳遞函數(shù)
首先，我們考察一下傳遞函數(shù)的相位響應(yīng)。對(duì)于同樣階數(shù)的濾波器選項(xiàng)來(lái)說(shuō)，它們的傳遞函數(shù)的相移特性都相同。
對(duì)于單極點(diǎn)、低通的情形，傳遞函數(shù)的相移為φ，由下式給出。
式中：ω = 頻率(弧度/秒)
ω0 = 中心頻率(弧度/秒)
以弧度/秒為單位的頻率等于2π乘以以Hz為單位的頻率，這是因?yàn)槊總€(gè)360°周期對(duì)應(yīng)著2π弧度。由于上面的表達(dá)式是一個(gè)無(wú)量綱的比值，故f和ω都可以采用。
中心頻率還可以被稱為截止頻率(即該單極點(diǎn)、低通濾波器的幅值響應(yīng)特性下降3dB——約30%——的頻率點(diǎn))。在相位關(guān)系方面，中心頻率是相移量達(dá)到其最終 值-–90°(在這個(gè)例子中)的50%時(shí)的頻率點(diǎn)。圖2是一幅半對(duì)數(shù)圖，描述了公式1所表述的相位響應(yīng)關(guān)系，其頻率范圍是中心頻率以下的兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上的兩個(gè)十倍頻程。中心頻率(=1)處的相位移動(dòng)為–45°。
圖2. 一個(gè)單極點(diǎn)、低通濾波器在中心頻率附近的相位響應(yīng)(同相，左軸;反相響應(yīng)，右軸)
類似的，一個(gè)單極點(diǎn)的高通濾波器可以由下式給出：
圖3描繪了公式2所表示的、在中心頻率以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程這一范圍內(nèi)的響應(yīng)特性。其歸一化的中心頻率(=1)處的相移為+45°。
顯然，高通和低通特性類似，只是相互間存在90°的相位差(π/2 radians)
圖3. 一個(gè)單極點(diǎn)、低通濾波器在中心頻率 1 附近的相位響應(yīng)(同相，左軸;反相響應(yīng)，右軸)
對(duì)于二階、低通的情形，傳遞函數(shù)的相移可以由下式近似表示為
式中α是濾波器的阻尼比。它將決定幅值響應(yīng)曲線上的峰值以及相位曲線過(guò)渡段的陡峭程度。它是電路的Q值的倒數(shù)，這也決定了幅值滾降或相位偏移的陡峭程度。 Butterworth響應(yīng)的α為1.414(Q=0.707)，可以產(chǎn)生最大平坦度響應(yīng)特性。更低的α會(huì)使幅值響應(yīng)特性曲線上出現(xiàn)尖峰。
圖4. 一個(gè)雙極點(diǎn)、低通濾波器的中心頻率 1 附近的相位響應(yīng)(同相，左軸;反相響應(yīng)，右軸)
圖4描繪了該式所表示的(α=1.414)、在中心頻率以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程這一范圍內(nèi)的響應(yīng)特性。這里，中心頻率(=1)處出現(xiàn)的相位偏移為–90°。
一個(gè)2極點(diǎn)、高通濾波器的相位特性響應(yīng)可以由下式近似表示
圖5描繪了該式所表示的響應(yīng)特性(同樣有α=1.414)，其范圍是中心頻率(=1)以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程，相應(yīng)的相移為
圖5. 一個(gè)雙極點(diǎn)、高通濾波器的中心頻率1附近的相位響應(yīng)(同相，左軸;反相響應(yīng)，右軸)
同樣的，顯然高通和低通相位響應(yīng)是類似的，僅僅存在180°的相位偏移(π弧度)。
在更高階數(shù)的濾波器中，每個(gè)附加段的相位響應(yīng)都累加到總的相移量之上。這一特性將在下面進(jìn)一步予以討論。為了與通常的實(shí)踐保持一致，所示出的相移被限制為±180°的范圍之內(nèi)。例如，–181°事實(shí)上等價(jià)于 +179°，360°等價(jià)于0°，依此類推。
一階濾波器段
一階濾波器段可以以多種方式來(lái)構(gòu)建。 圖6示出最簡(jiǎn)單的一種結(jié)構(gòu)，即使用無(wú)源的R-C架構(gòu)。該濾波器的中心頻率為1/(2πRC)。它之后往往接一個(gè)同相的緩沖放大器，以防止濾波器之后的電路 對(duì)其產(chǎn)生負(fù)載效應(yīng)，負(fù)載會(huì)改變?yōu)V波器的響應(yīng)特性。此外，緩沖器還可以提供一定的驅(qū)動(dòng)能力。相位響應(yīng)如圖2所示，即在中心頻率點(diǎn)處產(chǎn)生45°的相移，正如傳 遞函數(shù)所預(yù)測(cè)的那樣，這是因?yàn)闆](méi)有另外的元件改變相移特性。這種響應(yīng)特性將被稱為同相、一階、低通響應(yīng)特性。只要緩沖器的帶寬顯著高于濾波器，那么緩沖器 就不會(huì)帶來(lái)相移。
圖6. 無(wú)源低通濾波器
請(qǐng)記住，這些圖中的頻率值是歸一化的，即相對(duì)于中心頻率的比值。例如，若中心頻率是5kHz，則這些圖將展示50Hz到500kHz范圍內(nèi)的相位響應(yīng)特性。
圖 7示出另外一種結(jié)構(gòu)。該電路增加了一個(gè)并聯(lián)電阻，對(duì)積分電容進(jìn)行連續(xù)放電，從根本上來(lái)說(shuō)它是一個(gè)有損耗的積分器。其中心頻率同樣是1/(2πRC)。因?yàn)?該放大器是以反相模式工作的，故反相模式將在相移特性上引入附加的180°相位。圖2示出了輸入-輸出的相位差隨頻率的變化，其中包括了放大器引入的反相 (右軸)。該響應(yīng)特性將被稱為反相的、一階、低通響應(yīng)。
圖7. 利用工作在反相模式的運(yùn)放搭建的有源、單極點(diǎn)、低通濾波器
上面所示的電路可以衰減高頻分量而通過(guò)低頻分量，均屬于低通濾波器?？梢酝ㄟ^(guò)高頻分量的電路則與之類似。圖8示出一個(gè)無(wú)源的一階、高通濾波器電路結(jié)構(gòu)，其相位隨著歸一化頻率的變化特性則示于圖3中(同相響應(yīng))。
圖8. 無(wú)源高通濾波器
圖3(左軸)的曲線被稱為同相、一階、高通響應(yīng)特性。該高通濾波器的有源電路示于圖9中。其相位隨頻率的變化示于圖3中(右軸)。這將被稱為反相、一階、高通響應(yīng)。
圖9. 有源、單極點(diǎn)、高通濾波器
二階濾波器段
二階濾波器有各式各樣的電路結(jié)構(gòu)。這里要討論的是Sallen-Key、多路反饋、狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)，及其類似的雙二階濾波結(jié)構(gòu)。它們是最常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)，而且與本文的內(nèi)容相關(guān)。關(guān)于各種不同結(jié)構(gòu)的更為完整的信息可參見(jiàn)文后的參考文獻(xiàn)。
Sallen-Key低通濾波器
廣 泛使用的Sallen-Key結(jié)構(gòu)也被稱為電壓控制電壓源(VCVS)型，是MIT的林肯實(shí)驗(yàn)室(參見(jiàn)文獻(xiàn)3)的R.P. Sallen和 E.L. Key于1955年提出的結(jié)構(gòu)。圖10示出了一個(gè)Sallen-Key二階低通濾波器的電路原理圖。這一結(jié)構(gòu)受到廣泛歡迎的一個(gè)原因是它的性能基本與運(yùn)放 的性能無(wú)關(guān)，因?yàn)榉糯笃髦饕鳛橐粋€(gè)緩沖器來(lái)使用。由于在基本的Sallen-Key電路中，連接成跟隨器的運(yùn)放并不用于產(chǎn)生電壓增益，故對(duì)它的增益-帶 寬要求并不重要。這意味著，對(duì)于給定的運(yùn)放帶寬而言，與運(yùn)放的動(dòng)態(tài)特性受到可變反饋環(huán)路特性影響的那些電路結(jié)構(gòu)相比，利用這一固定的(單位)增益可以設(shè)計(jì) 出頻率更高的濾波器。通過(guò)濾波器后，信號(hào)的相位保持不變(同相結(jié)構(gòu))。圖4示出一個(gè)Q=0.707(或者，阻尼比α=1/Q=1.414—— Butterworth響應(yīng)特性)的Sallen-Key低通濾波器的相移-頻率關(guān)系圖。為了簡(jiǎn)化比較，這將作為下面所考慮的二階濾波器段的性能標(biāo)準(zhǔn)。
圖10. 2極點(diǎn)、Sallen-Key低通濾波器
Sallen-Key高通濾波器
通過(guò)互換決定頻率網(wǎng)絡(luò)上的電容和電阻的位置，可將Sallan-Key低通電路變換為高通結(jié)構(gòu)，正如圖11所示的那樣，而且同樣采用單位增益的緩沖器。其相移-頻率關(guān)系示于圖5中(左軸)。這是同相、二階、高通響應(yīng)。
圖11. 2極點(diǎn)、Sallen-Key高通濾波器
Sallen-Key濾波器的放大器增益可以通過(guò)在運(yùn)放反相輸入上連接一個(gè)電阻衰減器組成的反饋網(wǎng)絡(luò)來(lái)提高。不過(guò)，改變?cè)鲆鎸⒂绊懙經(jīng)Q定頻率網(wǎng)絡(luò)的表達(dá)式，而且需要重新計(jì)算元件的值。該放大器的動(dòng)態(tài)特性也需要更嚴(yán)格的考察，因?yàn)樗鼈冊(cè)诃h(huán)路中引入了增益。
多路反饋(Multiple-Feedback，MFB)低通濾波器
多路反饋濾波器是一種單放大器電路結(jié)構(gòu)，反饋環(huán)路是基于運(yùn)放的積分器(反相配置)，如圖12所示。因此，運(yùn)放參數(shù)對(duì)傳遞函數(shù)之間的影響要大于 Sallen-Key的實(shí)現(xiàn)方案。要產(chǎn)生一個(gè)高Q、高頻電路是很困難的，因?yàn)檫\(yùn)放在高頻段的開環(huán)增益有限。一條指導(dǎo)方針是，運(yùn)放的開環(huán)增益應(yīng)該至少比諧振 (或者截止)頻率處的幅值響應(yīng)高出20dB(即10倍于之)，包括濾波器的Q值造成的峰值。由于Q值而造成的尖峰將具有如下的幅值
式中：H是電路的增益。
圖12. 2極點(diǎn)、多路反饋(MFB)、低通濾波器
該多路反饋濾波器會(huì)使信號(hào)反相。這等價(jià)于讓濾波器自身的相移增加了180°。圖4示出了相位-頻率變化關(guān)系(右軸)。這將被稱為反相、二階、低通響應(yīng)。值得 注意的是，在得到給定響應(yīng)特性的條件下，多路反饋結(jié)構(gòu)中的最大和最小元件值之間的差異要大于Sallen-Key實(shí)現(xiàn)方案中的。
多路反饋(MFB)、高通濾波器
上面關(guān)于多路反饋、低通濾波器的評(píng)述也適用于高通的情形。圖13示出一個(gè)多路反饋、高通濾波器的原理圖，其理想的相移-濾波特性則示于圖5中(右軸)。這被稱為反相、二階、高通響應(yīng)特性。
圖13. 2極點(diǎn)、多路反饋(MFB)高通濾波器
要保證這種濾波器的具體電路實(shí)現(xiàn)在高頻情況下的穩(wěn)定性是十分困難的，因?yàn)樗窃谝粋€(gè)微分器的基礎(chǔ)上構(gòu)建的，與所有的微分器電路所類似的是，它在更高的頻率上閉環(huán)增益更大，因此會(huì)對(duì)噪聲產(chǎn)生放大作用。
狀態(tài)變量型濾波器
圖14示出了一種狀態(tài)變量實(shí)現(xiàn)方案。該結(jié)構(gòu)是最靈活和最精確的實(shí)現(xiàn)方案，付出的代價(jià)是電路元件的數(shù)量大大增加，其中包括了3個(gè)運(yùn)放。所有3個(gè)主要的參數(shù)(增益、Q和ω0)都可以獨(dú)立調(diào)節(jié)，而且可以同時(shí)提供低通、高通和帶通輸出。該濾波器的增益也是獨(dú)立的變量。
由于狀態(tài)變量濾波器的所有參數(shù)都可以獨(dú)立調(diào)節(jié)，故其元件值的散布變得很小。而且由于溫度和元件公差所帶來(lái)的失配也可以最小化。與上面的多路反饋電路類似的是，積分器部分所使用的運(yùn)放的增益帶寬積也成為電路的限制條件。
圖14. 2極點(diǎn)、狀態(tài)變量濾波器
其中低通濾波段的相移-頻率特性屬于一個(gè)反相的二階型響應(yīng)(參見(jiàn)圖4，右軸)，高通段電路將具有反相高通響應(yīng)(參見(jiàn)圖5，右軸)。
雙二階(biquad)
狀 態(tài)變量濾波器的一個(gè)近親是雙二階型(參見(jiàn)圖15)。該電路的名稱最早是由J. Tow于1968年使用的(見(jiàn)參考文獻(xiàn)6)，后來(lái)由L.C. Thomas 于1971年使用(見(jiàn)文獻(xiàn)5)，其工作是基于如下的事實(shí)：傳遞函數(shù)是兩個(gè)二階項(xiàng)之比。該電路與狀態(tài)變量電路之間存在輕微的區(qū)別。在這一結(jié)構(gòu)中，不能提供單 獨(dú)的高通輸出。不過(guò)它具有兩路低通輸出，其中一路是同相的(LOWPASS1)，另一路是反相的(LOWPASS2)。
圖15. 標(biāo)準(zhǔn)的雙二階2極點(diǎn)電路
由于添加了第四個(gè)放大器電路，故可以實(shí)現(xiàn)高通、陷波(低通、標(biāo)準(zhǔn)和高通)以及全通型濾波器。圖16示出一個(gè)帶有高通電路的雙二階電路的原理圖。
圖16. 2極點(diǎn)雙二階濾波器(帶有高通段)
其中LOWPASS1段的相移-頻率特性屬于同相、二階、低通型響應(yīng)(參見(jiàn)圖4的左軸)。LOWPASS2段將具有反相的二階型響應(yīng)(參見(jiàn)圖4，右軸)。HIGHPASS段的相移特性屬于反相特性(參見(jiàn)圖5，右軸)。
結(jié)論
我們已經(jīng)看到用于構(gòu)建一個(gè)濾波器的拓?fù)鋵⒂绊懫鋵?shí)際的相位響應(yīng)。這會(huì)是確定所用的拓?fù)鋾r(shí)需要考慮的一個(gè)因素。表1對(duì)本文中討論的各種低通濾波器結(jié)構(gòu)的相移范圍進(jìn)行了比較。
表1 低通濾波器架構(gòu)的相移范圍
類似的，表2對(duì)各種高通濾波器結(jié)構(gòu)進(jìn)行了比較。
表2 高通濾波器拓?fù)湎嘁品秶?/div>
相移特性隨Q的變化特性
上述的2階響應(yīng)的Q值都是0.707。圖17示出了Q的變化對(duì)低通濾波器的相位響應(yīng)的影響(對(duì)高通濾波器的影響也 類似)。圖中繪出了Q = 0.1，0.5，0.707，1，2，5，10和20時(shí)的相位響應(yīng)曲線。值得注意的是，Q值較低的情況下，在遠(yuǎn)低于截止頻率的頻率上相位就開始發(fā)生變化。
圖17. 相移隨Q值的變化特性
雖然幅值響應(yīng)隨Q值的變化并非本文的主題，但也是一個(gè)令人感興趣的問(wèn)題。圖18示出了Q值在上述范圍內(nèi)變化時(shí)一個(gè)2階濾波器的幅值響應(yīng)特性。
當(dāng)高Q電路應(yīng)用于多級(jí)濾波器時(shí)，高Q電路的響應(yīng)特性的尖峰現(xiàn)象也是令人感興趣的問(wèn)題。雖然在理論上這些電路段以何種順序來(lái)級(jí)聯(lián)并無(wú)差異，而在實(shí)踐中，把Q值 較低的電路段置于高Q電路段之前將更為有利，這是為了讓尖峰現(xiàn)象不致于超出濾波器的動(dòng)態(tài)范圍。雖然該圖是針對(duì)低通段的，但高通響應(yīng)也存在類似的尖峰。
圖18. 隨著Q值的變化，2極點(diǎn)濾波器的幅值尖峰特性的變化
高階次濾波器
傳遞函數(shù)可以級(jí)聯(lián)起來(lái)，構(gòu)成更高階次的響應(yīng)特性。當(dāng)濾波器響應(yīng)串連起來(lái)后，其在任意頻率上的dB增益(以及衰減)和相角都相加起來(lái)。正如我們?cè)谇懊嬷赋龅哪?樣，多極點(diǎn)濾波器一般是利用級(jí)聯(lián)的二階電路段搭建的，對(duì)于奇次階濾波器，可以另外添加一段一階電路。兩個(gè)級(jí)聯(lián)的一階電路段并不能像單個(gè)二階濾波段那樣提供 很寬的Q值變化范圍。
圖19示出一個(gè)通過(guò)傳遞函數(shù)級(jí)聯(lián)所構(gòu)成的4階濾波器。這里，我們可以看到，濾波器是由兩個(gè)二階段所構(gòu)成的。
圖19. 傳遞函數(shù)的級(jí)聯(lián)所構(gòu)成的4極點(diǎn)濾波器
圖 20示出了構(gòu)建一個(gè)4階濾波器的3種方式對(duì)相位響應(yīng)的影響。第一種結(jié)構(gòu)是利用兩個(gè)Sallen-Key(SK)Butterworth段搭建的。第二種是 利用兩個(gè)多路反饋(MFB) Butterworth段搭建的。第三種是利用一個(gè)SK段和一個(gè)MFB段搭建的。但是，正如兩個(gè)級(jí)聯(lián)的一階電路段并不能構(gòu)成一個(gè)二階電路段一樣，2個(gè)級(jí)聯(lián) 的2階Butterworth段并不能等效于一個(gè)4階Butterworth段。第一段Butterworth濾波器的f0為1，Q值為0.5412(α=1.8477)。第二段的f0為1，Q值為1.3065(α=0.7654)。
正如前面所提到過(guò)的那樣，SK段是同相型的，而MFB是反相型的。圖20對(duì)這3種4階電路的相移特性進(jìn)行了比較。其中SK和MFB濾波器具有相同的相位響應(yīng) 特性，因?yàn)閮蓚€(gè)反相段產(chǎn)生了同相響應(yīng)(-1×-1=+1)。利用混合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(SK和MFB)構(gòu)建的濾波器的響應(yīng)特性將偏移180° (+1 ×–1 = –1)。
圖20. 不同結(jié)構(gòu)的4階電路的相位響應(yīng)
請(qǐng)注意，正如可以預(yù)料到的那樣，總的相移特性是一個(gè)2階電路段的兩倍360° vs. 180°。高通濾波器將擁有類似的相位響應(yīng)，但偏移相差180°。
該級(jí)聯(lián)的思想可以用來(lái)搭建更高階次的濾波器，但是，在實(shí)踐中，超過(guò)8階的濾波器很難實(shí)現(xiàn)。將來(lái)的文章將對(duì)帶通、陷波(帶阻)和全通濾波器的相位關(guān)系進(jìn)行考察。
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